A.
Himpunan dan
bilangan.
1.
Jelaskan pengertian
himpunan dan anggota himpunan.
2.
Sebutkan macam –
macam himpunan berdasarkan jumlah anggotanya.
3.
Jelaskan operasi
antar himpunan beserta contohnya.
4.
Jelaskan mengenai
himpunan bilangan dan sebutkan sifat – sifat bilangan.
5.
Jelaskan perbedaan
bilangan bulat dengan bilangan rill.
Jawaban.
1.
Dalam
matematika, himpunan adalah (kumpulan objek yang memiliki sifat yg dapat
didefinisikan dengan jelas) segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap
sebagai satu kesatuan. Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19,
sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai
diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa
untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai
dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber
dari mana semua matematika diturunkan.
Atau,
Himpunan merupakan kumpulan dari benda-benda yang dapat dibedakan atau
didefinisikan dengan jelas. Misalnya himpunan lima bilangan asli yang pertama.
Himpunan lima bilangan asli yang pertama adalah 1, 2, 3, 4, dan 5. Suatu
himpunan harus memiliki nama. Nama himpunan biasanya ditulis dengan huruf
kapital. Setiap benda atau objek yang berada dalam suatu himpunan disebut
anggota atau elemen dari himpunan itu dan dinotasikan dengan Ñ”. Adapun benda
atau objek yang tidak termasuk dalam suatu himpunan dikatakan bukan anggota
himpunan dan dinotasikan dengan 
.
2.
- Himpunan
berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung.
Contohnya
D = {bilangan genap kurang dari 10} atau A = {2,4,6,8}.
Himpunan
D jumlah angotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah.
-
Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas
atau tak hingga. Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil}
-
Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali.
Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda {}.
Contohnya
B = {bilangan genap antara 2 dan 4}. ditulis B={}={0}.
-
Himpunan ekuivalen/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama
contohnya A= {b,c,d} B={d,c,b} A=B
-
Himpunan semesta adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan.
Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S.
contohnya:A
= {1,3,5,7,9}
himpunan
semestanya berupa:
S
= {bilangan asli}
S
= {bilangan cacah}
S
= {bilangan ganjil kurang dari 10}
-
Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulaidari
nol dan seterusnya contoh K = {0,1,2,3,4,5}
-
Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga
anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A. contohnya B = {a,c,e} A =
{a,b,c,d,e}
jadi
B bagian dari A.Anggota himpunan n adalah suatu unsur dari suatu himpunan.
Contohnya : A = (a,b,c,d,e} maka a elemen A
-
Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan
dengan himpunan lain. ContohnyaA = {d,e,f} B = {g,h,i} maka himpunan A tidak
mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B bukan anggota
himpunan adalah unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut contohnya A =
{a,b,c,d} e bukan anggota himpunan A.
-
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari
bilangan satu dan seterusnya.Contohnya D = {1,2,3,4,...}
-
Himpunan bilangan genap adalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua
dan selalu genap atau habis dibagi dua contohnya G = {2,4,6,8,10}
-
Himpunan bilangan ganjil adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis
dibagi dua .contohnya K = {1,3,5,7}
-
Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan
yang memiliki dua faktor contohnya Y = {2,3,,5,7}
-
Himpunan kuadrat bilangan cacah adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya
dipangkatkan dua.Contohnya Y = {0^2,1^2,3^2)
3. Ada
beberapa operasi himpunan yang perlu diketahui, yaitu : irisan , gabungan,
komplemen, selisih dan beda setangkup.
IRISAN (INTERSECTION)
Irisan antara dua buah
himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∩ ‘.
Misalkan A dan B adalah
himpunan yang tidak saling lepas, maka A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }
Jika dinyatakan dalam
bentuk diagram Venn adalah :
irisan (intersection)
irisan (intersection)
Contoh irisan :
Misalkan A = {2, 3, 5,
7, 11} dan B = {3, 6, 9, 12}, maka A ∩ B = {3}
Misalkan A adalah
himpunan mahasiswi TI STT Telkom dan B merupakan himpunan wanita lanjut usia
(50 tahun ke atas), maka A ∩ B = ∅.
Hal ini berarti A dan B
adalah saling lepas atau A // B.
GABUNGAN (UNION)
Gabungan antara dua
buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∪‘.
Misalkan A dan B adalah
himpunan, maka A ∪
B = { x | x ∈
A atau x ∈
B }
Union
Union
Jika dinyatakan dalam
bentuk diagram Venn adalah :
Contoh union :
Jika A = { 2, 3, 5, 7}
dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ∪
B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7}
4.
Himpunan adalah
sekelompok / kumpulan benda atau objek yang anggotanya dapat didefinisikan /
ditentukan dengan jelas.
Sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa objek
pada himpunan harus didefinisikan dengan jelas, agar supaya dapat dibadakan
atau ditentukan antara benda / objek yang termuat dan yang tidak termuat pada
himpunan.
Contoh – contoh Himpunan
Untuk lebih memahami tentang pengertian himpunan
silahkan perhatikan contoh kasus berikut ini!
a) Kumpulan
pemuda ganteng
b) Kumpulan
orang tua yang bijaksana
c) Kumpulan
pena, buku, penggaris, penghapus, pensil
d) Kumpulan
pisang, salak, duku, durian, rambutan, jeruk
Penjelasan contoh kasus himpunan
Pada contoh (a) kumpulan pemuda ganteng; pengertian
ganteng itu relatif dan tidak dapat didefinisikan dengan jelas, dan (b) sifat
bijaksana juga merupakan hal yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas karena
setiap orang memiliki penilaian yang berbeda-beda (relatif).
Kesimpulan:
Sehingga dapat disimpulkan bahwa pada contoh kasus (a)
dan (b) di atas bukanlah termasuk contoh himpunan, karena anggota-anggotanya
tidak dapat didefinisikan atau ditetapkan dengan jelas.
Sedangkan pada contoh kasus (c) merupkanan
kumpulan alat tulis dan contoh (d) merupakan kumpulan buah-buahan.
Sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa pada
contoh kasus (c) dan (d) di atas merupakan contoh dari himpunan karena anggota-
anggotanya dapat didefinisikan atau ditentukan dengan jelan. Yaitu (c) himpunan
alat tulis dan (d) himpunan buah-buahan.
5.
1. Bilangan bulat
Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan nol, bilangan
positif, dan bilangan
negatife, contohnya: -3, -2 ,-1 , 0 , 1 , 2 , 3…. Dst
2.
Bilangan asli
Bilangan asli merupakan suatu bilangan bulat positif yamg harus diawali dari
angka1 (satu) hingga
tak terhingga, contohnya: 1, 2, 3, 4, 5…. Dst
3. Bilangan cacah
Bilangan cacah merupakan suatu bilangan bulat positif yang harus diawali dari
angka 0 (nol)
hingga tak terhingga, contohnya: 0, 1, 2, 3, 4, 5…. Dst
4.
Bilangan Prima
Bilangan prima merupakan suatu bilangan yang tepat punya 2 faktor, yaitu
bilangan 1 (satu) dan
dengan bilangan itu sendiri, contohnya: 2, 3, 5, 7, 11, 13…. Dst
5.
Bilangan Komposit
Bilangan komposit merupakan bilangan yang bukan 0 (nol), juga bukan 1, dan
bukan juga bilangan
Prima, contohnya: 4, 6, 8, 9 , 10, 12, 14…. Dst
6.
Bilangan Rasional
Bilangan Rasional merrupakan suatu bilangan yang dapat dinyatkan sebagai suatu
pembagian
antara 2 bilangan bulat, contonya: ½, 2/3, ¾…. Dst
7.
Bilangan Irrasional
Bilangan Irrasional merupakan bilangan yang nggak bisa dinyatkan sebagai
pembagi dua bilangan
bulat, contohnya: √3, log 7….. Dst
8.
Bilangan rill atua biasa disebut dengan bilangan nyata
Bilangan rill merupakan bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan
rasional dan
Irrasional, contohnya: ½ √2, 1/3 √5, 2/3 log 2, dan seterusnya.
9.
Bilangan Imajiner atau bilangan khayal
Bilangan imajiner merupakan bilangan yang ditandai dengan huruf i, Bilangan
imajiner dengan
huruf i dapat dinyatakan sebagai √-1. Jadi apabila i = √-1 maka i2 = -1
contonya: √-8 = …. ?
√-8 = √8 x (-1) = √8 x √-1 = 4 x i = 2 i
10.
Bilangan kompleks
bilangan kompleks merupakan suatu bilangan yangv merupakan penggabungan dari
suatu
bilangan rill dan bilangan imajiner
contohnya: Log √-1 = log i
B.
Relasi.
1.
Jelaskan definisi dari relasi.
2.
Menyajikan relasi dengan matriks relasi dan diagram
panah.
3.
Jelaskan relasi invers, dan komposisi relasi.
4.
Jelaskan perbedaan sifat relasi :
a.
Refleksif .
b.
Transitif.
c.
Simetris.
d.
Anti simetris.
Jawaban.
- Definisi Relasi adalah himpunan bagian
antara A(domain) dan B (kodomain)
atau relasi yang memasangkan setiap
elemen yang ada pada himpunan A
secara tunggal, dengan elemen yang
pada B.
2.
Dengan matriks
Relasi antara A = {a1, a2, …,
am} dan B = {b1, b2,
…, bn}
Dengan diagram panah
Himpunan A diletakkan
disebelah kiri
Himpunan B diletakkan disebelah kanan
Contoh:
Ani suka Bakso dan nasi goreng
Irfan suka mie ayam
Arman suka nasi goreng dan coto
Ahmad suka ikan bakar
Erwin suka bakso
3.
A. Relasi Invers
Apabila f adalah
fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka invers fungsi fadalah
suatu relasi dari himpunan B ke
himpunan A. Jadi, invers suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi. Jika invers suatu fungsi merupakan fungsi,
maka invers tersebut dinamakan fungsi invers dari fungsi semula.
Fungsi f mempunyai
fungsi invers
jika
dan hanya jika f merupakan fungsi (korespondensi
satu-satu)
Langkah-langkah
untuk menentukan rumus fungsi invers apabila fungsi f(x) telah
diketahui:
1.
Mengubah persamaan y = f(x) dalam
bentuk x sebagai fungsi y
2.
Bentuk x sebagai
fungsi y tersebut dinamakan
3.
Mengganti y pada , dan
4.
dengan x, sehingga
diperoleh
B.
Relasi Komposisi
Misalkan
f adalah suatu fungsi dari A ke B dan g adalah fungsi dari B ke C , maka suatu
fungsi h dari A ke C disebut fungsi komposisi. Fungsi komposisi tersebut
dinyatakan dengan (dibaca: g bundaran f)
Fungsi
Komposisi: (f o g)(x) = f(g(x))
Fungsi
Komposisi: (g o f)(x) = g(f(x))
Sifat-sifat
Komposisi Fungsi
1.
Pada umumnya tidak komutatif.
2.
Operasi komposisi pada fungsi bersifat asosiatif.
3.
Terdapat fungsi identitas
4.
A. Refleksif
Misalkan
R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat
refleksif jika untuk setiap p ∈
P berlaku (p, p) ∈
R.
Contoh:
Diberikan
himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan hasil
relasi adalah himpunan S = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Relasi R
tersebut bersifat reflektif sebab setiap anggota himpunan P berpasangan atau
berelasi dengan dirinya sendiri.
B.
Transitif
Misalkan
R sebuah relasi pada himpunan P. Relasi R bersifat transitif apabila untuk
setiap (x,y) ∈
R dan (y,z) ∈
R maka berlaku (x,z) ∈
R.
Contoh:
Diberikan
himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan hasil
relasi adalah himpunan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Relasi R
tersebut bersifat transitif sebab (x,y) ∈
R dan (y,z) ∈
R maka berlaku (x,z) ∈
R.
C.
Simetris
Misalkan
R sebuah relasi pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris, apabila
untuk setiap (x, y) ∈
R berlaku (y, x) ∈
R.
Contoh:
Diberikan
himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan R = {(1,1)
, (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R bersifat simetris sebab
untuk setiap (x,y) ∈
R, berlaku (y,x) ∈
R.
D.
Anti Simetris
Misalkan R sebuah
relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan
bersifat antisimetris, apabila untuk setiap (x,y) ∈ R dan
(y,x) ∈ R berlaku x
= y.
Contoh:
Diberikan
himpunan C = {2, 4, 5}. Didefinisikan relasi R pada
himpunan C dengan R = { (a,b) ∈ a kelipatan b, a,b ∈ C}
sehingga diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}.
Relasi Rtersebut bersifat antisimetris.
C. Fungsi.
1.
Jelaskan definisi
fungsi.
2.
Jelaskan fungsi
satu – satu ( one to one ) dengan fungsi pada ( on to ).
3.
Jelaskan perbedaan
domain, kondomain, dan range suatu fungsi.
Jawaban .
1.
Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi
yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah
asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang
disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi
tersebut disebut daerah hasil ( Range).
2. Misalkan
f merupakan fungsi dari A ke B maka f disebut Fungsi Satu-Satu jika
setiap unsur di B (kodomain) terdapat secara tunggal unsur dalam A (domain),
artinya tidak ada dua elemen atau lebih di A yang dipetakan ke elemen yang sama
di B. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut :
Definisi :
Pemetaan (fungsi) f : A 
B
dikatakan satu-satu atau injektif, jika untuk
setiap unsur x1 dan x2di yang dipetakan sama oleh f,
yaitu f(x1) = f(x2) berlaku x1 = x2.
defisini diatas
ekivalen dengan kalimat berikut “jika x1 
x2 maka
berlaku f(x1) f(x2)”
Untuk lebih jelasnya,
perhatikan contoh diagram pemetaan dibawah ini.
Keterangan :
Gambar diagram pemetaan
sebelah kiri merupakan fungsi satu-satu karena setiap anggota
di domain dipetakan tepat satu ke kodomain dan tidak ada dua anggota domain
yang dipetakan ke anggota kodomain yang sama.
Kemudian untuk diagram
pemetaan kedua atau yang sebelah kanan bukan merupakan fungsi satu-satu karena
ada dua anggota di domain yang memiliki pemetaan yang sama di kodomain.
Contoh :
Selidiki apakah fungsi
f : R R
merupakan Fungsi Satu-Satu atau bukan !
1.
f(x) = x2 + 2
ambil -1, 1 
di
domain, sehingga diperoleh f(-1) = (-1)2 + 2 = 3 dan f(1) = (1)2 +
2 = 3 berakibat f(-1) = f(1). Karena terdapat dua elemen di domain yang
memiliki peta sama di kodomain. Jadi fungsi f(x) bukan Fungsi Satu-Satu.
2.
g(x) = x3 – 2
ambil x1, x2 sebarang
dan g(x1) = g(x2) berakibat
g(x1) = g(x2)
(x1)3 –
2 = (x2)3 – 2
(x1)3 =
(x2)3
x1 = x2
Jadi, fungsi g(x)
adalah Fungsi Satu-Satu
3.
Domain adalah
himpunan asal yang dipetakan dalam fungsi
Kodomain
adalah himpunan tujuan pemetaan dalam fungsi
Range
adalah daerah hasil pemetaan yang merupakan bagian dari kodomain.
Contoh:
Himpunan A Himpunan B
Domain
= A = Apel, Bekasi, Labu, Hijau
Kodomain
= B = Kota, Warna, Buah, Sayur
Range
= Kota, Warna, Buah, Sayur
Sumber
referensi :
